Preparação

Sobre [Est. 1.a Fig. 1.a] a linha Recta A B destinada para [Página 9] directrix se levante huma perpendicular CG indefinita, e nella se escolha hum ponto qualquer D para vertice, e outro qualquer F , para Fóco, ou embigo de huma curva, e exprima p , e q a razaõ das distancias do vertice ao Foco, e a directrix, isto he, chame-se CD , p ; e DF , q ; digo que se cada hum dos pontos da Curva distar da directrix, e do Foco na razaõ de p a q , será huma sessaõ Conica, por se acharem nas Sessoens de hum Cone as mesmas propriedades como se verá

He evidente que quando p > q , hu dos pontos da Curva se achará na linha CG , pois nella posso tomar huma linha FE , tal que seja [ ] Nota2 , por haver de ser FE<CE , e tambem que o ponto E he o q. mais dista de F ; por que para nenhuma outra parte mais distante se poderá tomar outra, [Página 10] cuja distancia ao Foco, e á directriz estejam na razaõ de p a q . Isto mostra que neste cazo torna a curva a entrar em si mesmo, isto he que as suas pontas se ajuntam em E .

Nas outras porem naõ succede assim pois quando por ex. p=q nunca posso tomar na linha CG huma parte FG , que seja para [ ] Nota3 . aliás seria a parte igual ao todo. Assim hirá a curva affastando-se para os lados sem nunca se poderem ajuntar as suas pontas: hir-se há porem affastando cada vez menos, por que cada vez se hirá aproximando mais da razaõ de igualdade de CG a FG por se poder augmentar FG quanto cada hum quizer, ficando CF sempre constante.

Quando p<q muito mais se affastaraõ as pontas da curva pois por mais que se [Página 11] [Fig. 2.a] estenda CG nunca nella se poderá tomar huma parte FG que seja maior que o seu todo CG . pode-se contudo tomar para a outra banda da directrix /neste só cazo, e naõ nos outros/ o que mostra que a curva tambem jaz da outra parte.

Bem quizera demõstrar, e expor estas, e outras couzas mais por extenso, mas a brevidade, que me propuz neste papel mo naõ permitte, e o rezervo para hum particular [ trattado] Nota4 . O Leitor se contentará com a ideia geral, que dou aqui deste methodo, e lhe ficará facil com qual quer applicaçaõ deduzir delle todas as propriedades das sessoens Conicas. Eu entretanto tocarei o que me parecer mais necessario, suppondo sabidas ao menos as principaes propriedades da Elipse.

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No primeiro cazo se demonstra que a curva he huma Elipse, e tambem chamando à metade do eixo maior a temos [ ] Nota5 . que dá esta equaçaõ pq+2aq=2ap-pq , e esta

I. Seja a distancia da directrix ao vertice infinita isto he seja e pondo este valor na equaçaõ A , teremos

II. Da distancia infinita, em que estava [Fig. 3.a] a directriz AB se venha avizinhando o vertice D ; consideremo-la, por ex. n''huma distancia CD finita mas com tudo maior que DF , he [Página 14] evidente que a medida que a directriz veio caminhando da pozição AB até a pozição AB , se foi a curva estendendo, e alargando, isto he a medida, que diminuia CD hiam crescendo as NF a Respeito da constante DF , e temos a equação A , e a equação B , que nos dão

III. [Fig. 4.a] Em chegando á pozição ab onde p=q a equação A dará ou escrevendo a unidade em lugar de q . isto he, foge o centro do vertice até huma distancia infinita. E a equação B darã

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IV. Assim que for p<q a equação A dará o centro para a parte opposta pois he evidete que então será o seu primeiro membro negativo por ser p<q , e fazendo-o affirmativo teremos que mostra ser o eixo tirado do vertice não para mesma banda de q como era dantes, mas para a de p . A equação B dará

V. Ultimamente em a directrix se avizinhando tanto ao vertice que o toque, isto he, assim que for p=0 , teremos a , ou , o que mostra que então os vertices 8D [sic] coincidem. Ora como a parametro se [Página 16] acha sempre fazendo

Temos visto pelo movimento da directrix formar-se do circulo a Elipse, Parabole, e Hyperbole, e abrir-se até a linha recta. O que temos ditto sobeja para a intelligencia do que se segue e basta para dar aos principiantes /para quem só escrevo/ huma ideia deste methodo.

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