[Página 1] Ensaio sobre as Minas Instrucção 1780 Sobre huma materia tão importante como esta não temos nada escrito em Portuguez. Nas outras Nações sim tem havido pessoas de grande nome, que tem comprehendido o tratala, mas até agora ningue o tem feito completamente, e sem cahir em notaveis abuzos, ou erros de consequencia. Os primeiros Mineiros cuidaram que a figura da escavação era hum Cone de huma altura igual ao Raio de baze; depois imaginaram q. era hum Cone truncado, cuja altura, Diametro [Página 2] do fundo, e Raio da baze erãm sempre iguaes; o Tenente General de la Valière achou por meio de huma medição exacta, que a escavação nem era hum Cone, nem hum Cone truncado; mas sim hum paraboloide; conservou porem o antigo abuzo, de que o diametro da baze nunca podia exceder a linha de menor resistência; que finalmente as experiencias feitas por M. Belidor na Escola d'Ártelharia dela Fère pelos annos 1730 desterraram de todo. Achada esta verdade importantissima ás apalpadellas, eis nos acõmette logo a curiozidade de averiguar /ou para fallar mais verdade/ a vaidade de demonstrar por principios àpriori, como, e porque faz a polvora na terra hum paraboloide, e não hum Cone, ou hum Cone truncado, ou outra qualquer figura. Eis ahi Mr Dulacq, que quiz fazer hum Mechanismo de Artelharia, e que para demõstrar [Página 3] este ponto, se poem a calcular errado, * e a raciocinar em vão, como no resto da sua Obra, [Página 4] ou ainda mais se pode ser. Ajusta o vertice da parabole ordinaria no angulo de hum triangulo, toma por razoens inversas, o que está mui longe de o ser, &c, &c, &c. O Sabio M.r Muller Professor d'Ártelharia, e Forteficação na Academia Real de Inglaterra, discipulo de Belidor, e que assistio às experiencias, de que fallei, achou felismente huma nova Theorica segura, e completa, quanto baste para a pratica, e confirmada incontestavelmente por ella. Não cahio na tentação de querer deduzir de principios a priori a figura da escavação. Exactas, e repetidas medições lhe segurarã, que he hum paraboloide: isso lhe basta, pois a razam porque o hé não inflûe nada na Arte das Minas. Vio que o Frustro do paraboloide terminado pela baze, e pelo circulo, que passa pelo Foco, está sempre na razam das cargas, e julgando este principio assaz demõnstrado pela experiencia cons- [Página 5] tante, desprezando prudentemente todo o calculo, ou raciocinio vão, e inutil, reduz toda a Theorica das Minas à Resolução de huma equação do segundo graó. * Quem prevenido da grande reputação de M. Dulacq neste Reyno se admirar do que aqui se diz delle, ponha os olhos nessas mizeraveis equaçoens, que se achão no seu Mecham d'Árt; pag._110 mihi: , , e para se nam cuidar, que foi erro da imprensa acrescenta [ puisque] Na cópia manuscrita lê-se " jurisque " , a correcção foi feita de acordo com a pág._110 do livro de Dulacq intitulado " Theórie nouvelle sur le Mécanisme de l'Ártillerie " , publicado em Paris, em 1741. 0 ne multiplie point i. e. porque 0 tem privilegios de unidade. He vergonha, e grande vergonha criticar couzas tão summamente triviaes, pois não ha Rapaz da escolla, que não possa ensinar a Mr. Dulacq, que 4 vezes nada he nada, e nam 4 vezes nada he 4 , como elle cuida; mas sirva isto somente para que a gente se não deixe preocupar de hum grande nome, e para que alguns Autores afrancezados não escrevão tanto à pressa. A minha primeira tenção quando me rezolvi a dar alguma couza em Portuguez sobre as Minas, foi traduzir fielmente o excellente Tratado de M.r Muller, porem acho nelle algumas asserções, que me parecem mal fundadas, alguns principios, que não posso adoptar por me não parecerem certos, do que darei as minhas razões, e quem ler julgará. Alem disto vejo a Obra de Mr Dulacq na mão de quasi todas as pessoas da Profissaõ, e para q. os principiantes se não enganem com os brilhantes termos de Demonstração, evidência provarei, demonstrarei &c, tantas vezes, e tão em falso repetidos me pareceo justo por-lhe [Página 6] diante dos olhos, quanto Mr. Dulacq se enganou na determinaçaõ do modo, com que a polvora opéra na Mina, e quanto he diverso o Caminho, que seguio, do que devia seguir nesta averiguação. Constará pois este pequeno Tratado de tres partes. Na primeira darei huma ideia de como a polvora opéra na terra, e como esta lhe resiste diversamente em differentes partes, procurando deduzir destas consideraçoes a figura da Escavaçaõ. Desta Theorica /que hé o que só posso chamar inteiramete meu neste papel/ pouco, ou nada se pode determinar para a practica. Eu confeço a sua inutilidade neste sentido, servirá porem de contentar a curiozidade naturalissima de saber pouco mais, ou menos por que razaõ, e como as Escavaçoes tomam sempre huma [Página 7] figura certa, e naõ outra, e para desterrar os abuzos de alguns Autores, principalmente os erros de Mr. Dulacq, e alguns de Mr Muller, se naõ sou eu talvez o que me engano. A segunda será hum extracto da Theorica de Mr. Muller, á qual ajuntarei hum Problema, que me parece necessario, e como a sua soluçaõ dá huma equaçaõ biquadratica, darei com essa occaziaõ o excellente methodo de Daniel Bernoulli para achar as raizes das Equaçoes racionaes, no q. me parece faço algu serviço aos Curiozos, que o naõ tiverem ainda visto. A terceira conterá Regras practicas para regular as cargas, e linhas de menor rezistencia, conforme os diversos terrenos, e intentos acõmodadas á capacidade de hum Mineiro, que não saiba mais, que as quatro operaçoes [Página 8] da Arithemetica, e extraçaõ da raiz quadrada, e cubica; As pessoas que naõ entendem Algebra poderaõ fazer o seu estudo nesta terceira parte somente, e deixar as outras. Para cabal intelligencia do que digo na primeira parte, me parece necessario dar a propriedade, e formaçaõ universal das sessoes Conicas, e espero naõ deixará isto de ser util, e agradavel á quellas pessoas, que naõ tiverem visto se naõ Belidor, o qual as trata separadamente, e cada huma por differente modo, o que naõ deixa de ser deffeituozo, pois bem sabida hé a utilidade, e superioridade dos methodos geraes; e o Leitor o poderá julgar do que digo nesta. Preparação Sobre [Est. 1.a Fig. 1.a] a linha Recta A B destinada para [Página 9] directrix se levante huma perpendicular CG indefinita, e nella se escolha hum ponto qualquer D para vertice, e outro qualquer F , para Fóco, ou embigo de huma curva, e exprima p , e q a razaõ das distancias do vertice ao Foco, e a directrix, isto he, chame-se CD , p ; e DF , q ; digo que se cada hum dos pontos da Curva distar da directrix, e do Foco na razaõ de p a q , será huma sessaõ Conica, por se acharem nas Sessoens de hum Cone as mesmas propriedades como se verá He evidente que quando p > q , hu dos pontos da Curva se achará na linha CG , pois nella posso tomar huma linha FE , tal que seja [ ] Na cópia manuscrita lê-se " CF+FE:FE::p:q " ; foi acrescentada a barra por cima de CF + FE , como é usado noutras partes do texto e que supomos aqui não ter sido copiada do original. , por haver de ser FE<CE , e tambem que o ponto E he o q. mais dista de F ; por que para nenhuma outra parte mais distante se poderá tomar outra, [Página 10] cuja distancia ao Foco, e á directriz estejam na razaõ de p a q . Isto mostra que neste cazo torna a curva a entrar em si mesmo, isto he que as suas pontas se ajuntam em E . Nas outras porem naõ succede assim pois quando por ex. p=q nunca posso tomar na linha CG huma parte FG , que seja para [ ] O mesmo da nota anterior, relativo agora a FG+CF . . aliás seria a parte igual ao todo. Assim hirá a curva affastando-se para os lados sem nunca se poderem ajuntar as suas pontas: hir-se há porem affastando cada vez menos, por que cada vez se hirá aproximando mais da razaõ de igualdade de CG a FG por se poder augmentar FG quanto cada hum quizer, ficando CF sempre constante. Quando p<q muito mais se affastaraõ as pontas da curva pois por mais que se [Página 11] [Fig. 2.a] estenda CG nunca nella se poderá tomar huma parte FG que seja maior que o seu todo CG . pode-se contudo tomar para a outra banda da directrix /neste só cazo, e naõ nos outros/ o que mostra que a curva tambem jaz da outra parte. Bem quizera demõstrar, e expor estas, e outras couzas mais por extenso, mas a brevidade, que me propuz neste papel mo naõ permitte, e o rezervo para hum particular [ trattado] Na cópia manuscrita lê-se " rattado " ; supomos que o autor se refere aos Princípios Mathemáticos. . O Leitor se contentará com a ideia geral, que dou aqui deste methodo, e lhe ficará facil com qual quer applicaçaõ deduzir delle todas as propriedades das sessoens Conicas. Eu entretanto tocarei o que me parecer mais necessario, suppondo sabidas ao menos as principaes propriedades da Elipse. [Página 12] No primeiro cazo se demonstra que a curva he huma Elipse, e tambem chamando à metade do eixo maior a temos [ ] Na cópia manuscrita não existe as barras sobre p+2a e 2a-q . . que dá esta equaçaõ pq+2aq=2ap-pq , e esta isto he a metade do eixo, ou a distancia do vertice ao centro exprimida em partes de p , e de q . Ora na Elipse he o quadrado de qualquer ordenada para o rectangulo das partes, em que ella divide o eixo como oquadrado do eixo menor para o quadrado do eixo maior, ou como o lado recto, ou parametro para o eixo grande. Seja P o parametro x a abscisa, e y a ordenada; teremos ; e será A equaçaõ A mostra que sendo p variavel quanto mais crescer mais diminuirá a ; e quanto mais crescerá a Parece que a frase completa devia ser " e quanto mais decrescer mais crescerá a . " ; consideremos pois p em todas as porporçoens, em que pode estar [Página 13] com q. I. Seja a distancia da directrix ao vertice infinita isto he seja e pondo este valor na equaçaõ A , teremos o que mostra que neste cazo coincide o centro com o Foco. Ora na Elipse a ordenada ao Foco he metade do parametro, e se acha fazendo [ ] Na cópia manuscrita lê-se " " ; parece manifesto que deve ser pq+qq em vez de pp+qq . logo neste cazo teremos , porq. a equaçaõ se transforma em ponhamos agora 2a em lugar de P na equaçaõ B , e teremos , o que tudo mostra que entaõ he a curva hum circulo. II. Da distancia infinita, em que estava [Fig. 3.a] a directriz AB se venha avizinhando o vertice D ; consideremo-la, por ex. n''huma distancia CD finita mas com tudo maior que DF , he [Página 14] evidente que a medida que a directriz veio caminhando da pozição AB até a pozição AB , se foi a curva estendendo, e alargando, isto he a medida, que diminuia CD hiam crescendo as NF a Respeito da constante DF , e temos a equação A , e a equação B , que nos dão NQ q. significa , como resulta da comparação com a equação B . e continuando a directrix a chegar-se ao vertice quanto mais se chegar, mais crescerã o eixo, mais se affastarã o centro do vertice, ate que III. [Fig. 4.a] Em chegando á pozição ab onde p=q a equação A dará ou escrevendo a unidade em lugar de q . isto he, foge o centro do vertice até huma distancia infinita. E a equação B darã [ ] Na cópia manuscrita lê-se " " ; parecem manifestas as correcções feitas, de acordo com a equação B . equação da parabole. Logo porem que a directrix sahe da pozição ab para qualquer outra xb em , isto he [Página 15] IV. Assim que for p<q a equação A dará o centro para a parte opposta pois he evidete que então será o seu primeiro membro negativo por ser p<q , e fazendo-o affirmativo teremos que mostra ser o eixo tirado do vertice não para mesma banda de q como era dantes, mas para a de p . A equação B dará [ ] Na cópia manuscrita não existe barra sobre 2a+x . equação da hyperbole. Continûe a directrix a chegar-se ao vertice: hirã deminuindo ao mesmo paço que o semieixo , pois he bem claro que quanto menor for p maior será o denominador -p+q , e menor o numerador pq . V. Ultimamente em a directrix se avizinhando tanto ao vertice que o toque, isto he, assim que for p=0 , teremos a , ou , o que mostra que então os vertices 8D [sic] coincidem. Ora como a parametro se [Página 16] acha sempre fazendo [ ] Mesma observação da nota 6. teremos neste cazo , e por concequecia a equação B dará onde se vê que neste cazo não ha abscis __ [sic] isto he que se na linha DG se tomar qualquer ponto por mais proximo que se tome ao vertice D a perpendicular, que delle se levantarâ DG nunca poderá tocar a curva, o que mostra que se abrio tanto que ficou recta, e coincide com a directrix. Temos visto pelo movimento da directrix formar-se do circulo a Elipse, Parabole, e Hyperbole, e abrir-se até a linha recta. O que temos ditto sobeja para a intelligencia do que se segue e basta para dar aos principiantes /para quem só escrevo/ huma ideia deste methodo. [Página 17] Parte I. Nova Theorica das Minas 1. Lembremo-nos primeiro que tudo, que a polvora incendida não hé outra couza mais que hum fluido elastico, e permanente, cuja força deve naturalmente estar na razão do calor, e da densidade, e como o calor está evidentemente na razão da densidade, segue-se que da força da polvora está na razão duplicada da desidade; mas a densidade está sempre na razão composta da directa das quantidades, e da inversa dos volumes; logo a força da polvora estará na razão composta da directa duplicada das quantidades, e da inversa duplicada dos espaços, que occupão, o que está amplamente explicado [Página 18] na Theorica da polvora. 2. Consideremos huma carga de polvora enterrada em hum lugar tão profundo, que o pezo da Columna superincumbente exceda á força da polvora. I. Se a terra hé incomprimivel não fará o impulso da polvora effeito algum, e ficará esta occupando o mesmo espaço, que occupara de antes, pois de todas as partes se lhe reziste infinitamente. II. Se a terra hé comprimivel lhe cederá igualmente por todas as partes até que a força da polvora, que vai diminuindo na razão inversa dos espaços que vai occupando fique em equilibrio com a força com que a terra reziste á compressão. [Página 19] 3. Esteja [Fig. 5.a] agora a Carga n''huma distãcia tal da superficie da terra, que seja o pezo das columnas superincumbentes menor que a força da polvora, supondo pois a Carga em D /de figura Cubica, ou esferica para maior comodidade/ então. I. Se a terra não he comprimivel, procurãdo a polvora estender-se para todas as partes dirigindo a sua força por linhas perpendiculares á superficie da esfera, que forma, e sendo rezistida infinitamente por todas as partes excepto pela parte de cima lhe cederá só a linha de menor rezistencia CD , e muitos raios DE tomados nas direçoens das forças cõmunicadas pêla polvora, porem he claro que estes raios DE rezistirão diversamente, pois a força cõmunicada a cada hum pela polvora em e hé a mesma /pela propriedade dos fluidos de terem sempre [Página 20] todas as suas forças em equilibrio/ e a rezistencia, que elles fazem a essa força tanto pelo seu pezo, como pela coherencia de huns com os outros cresce n''huma certa razão directa dos mesmos raios, e por consequencia acharemos hum AD cuja rezistencia esteja em equilibrio com a força da polvora, e não lhe cederâ, e muito menos qualquer dos outros aD , o que tudo parece evidente. II. Se a terra porem hé comprimivel, todas as partes desde G para baixo lhe cederão sómente pela sua compressibelidade, e de G para cima pela mesma compressibelidade, e juntamente por serem de hum pezo menor, que a força da polvora, e este hé verdadeiro cazo das Minas, pois a terra hé comprimivel: examinaremos isto mais miudamente. [Página 21] 4. Accende-se a polvora, e começa a dilatar-se, a terra lhe cederá igualmente por todas as partes até hum certo termo, em que a força necessaria para a comprimir mais hé maior, que a que basta para vencer a coherencia das partes, e o pezo. Ora esta rezistencia procedida da coherencia das partes, e do pezo em nenhuma parte hé menor que junto á linha de menor rezistencia, logo por esta parte principiará a ceder, e /se acazo se pode assi dizer/ quebrará a terra da mesma sorte, que se quebra huma taboa opprimida de huma potencia capaz de vencer a coherencia das suas partes. 5. A polvora, que vai continuando a dilatar-se [Fig. 6.a] acha huma sahida em a , mas esta sahida he pequena pelo que continuarâ a opprimir toda a circunferencia, porem ja não igualmente; por que 1.o o vaõ ja esta cheio de terra [Página 22] solta de quando a terra por ali se quebrou, e que só rezistem pelo seu pezo: 2.o as partes b cedem empurrando para dentro do dito vão as partes e : 3.o cada uma das partes d cederão empurrando tambem para a banda de a as partes, que lhe ficarem para essa banda: 4.o finalmente a parte mais inferior e cederá para baixo empurrando para os lados as partes, q. lhe ficam vizinhas. Ora he claro que quanto mais terra houver acima de cada parte d mais custará a essa parte o ceder; isto he, mais rezistirâ, menos espaço cederâ, e esta rezistencia bem se vê, que gradualmente vai augmentando desde b até e . 6. Cederá pois a circumferencia bdde gradualmente: cederâ cada parte d em razão composta da compressibilidade da terra, e da multidão de partes, que tem, que mover [Página 23] para a banda de a para ceder; ora a compressibilidade da terra pode-se suppor a mesma em qualquer altura, crescerâ logo esta rezistencia com a multidão de partes, que tem que mover para a banda de a . Neste computo porem deve tambem entrar a diversa altura de terra que cada parte d tem em cima de si, e quanto essa terra dista do vão f , a , pois quanto mais distar delle menos abalada estará, e menos solta, e mais custará a mover-se debaixo della a parte d , o q. tudo nos tira totalmente a esperança de saber em q. razão cresce a ditta rezistencia; deixemos pois esta averiguação, e continuemos. 7. Supponhamos que n'úm primeiro [Fig. 7.a] instante cedeo a parte a até b , no segundo até B , no terceiro até B , hé claro que o espaço bB há de ser maior que o espaço ab , BB maior que bB &c, porque a parte b tem em cima [Página 24] de si menos terra, e mais solta, e abalada q. a , B que b , e B que B /tomando a força da polvora sempre igual, ou tomando os tempos desses instantes em razão duplicada dos espaços occupados pela polvora/. Os espaços ad , dD , DD , &c. hirão sempre sendo tanto mais pequenos quãto mais se aproximarem de, eE , EE &c, e a razão, em que esta diminuição se faz hirâ crescendo cada vez mais, isto hé [ ab:\partial d,&c< bB:\partialD, &c < BB:DD, &c, ] Na cópia manuscrita lê-se " ab\partial d,&c<bB: \partialD,&c<BB:DD,&c, " não existindo o sinal de razão entre ab e \partial b , como parece que deve existir; além disso, as letras da fig. 7, estampa 2, não correspondem rigorosamente às do Texto, pelo que se torna difícil a interpretação correcta das expressões em que figuram. por que huma das couzas, que contribuem para qualquer parte \partial , D , ou D &c, rezistir mais, ou menos hé a maior, ou menor distancia, em que está da ultima b , B , ou B , &c pois quanto maior for essa distancia mais terra tem, que mover para a parte de c , C , ou C &c, As letras c , C ,..., não se vêem na fig. 7 da Est. 2; em compensação as letras d , \partial , D ,..., aparecem duas vezes. o que mostra, q. tirando raios do centro O á curva destes hirão sempre crescendo mais os que estiverem mais proximos á linha de menor rezistencia, que os que estiverm mais [Página 25] apartados. He tambem assas claro que isto hirá continuando até que a polvora não achando cousa, q. se lhe opponha, ou a retarde da parte de cima escape toda para o ar, e isto succederâ quando a esquina B se desvanecer inteiramente como em b . Emfim façamos outra consideração: se a polvora acha-se igual rezistencia por todas as partes formaria huma esfera; achando porem menor rezistencia de huma banda estender-se há para essa parte formando ....... Que hé o q. primeiro nos vem a ideia? hum Elipsoide, e nos acabamos de ver o circulo a\partial\partial e hir abrindo-se, e estendendo-se ate formar huma curva , em que se não acha curvatura para a parte de dentro, quero dizer, que huma linha tirada por paralella a af a não corta em outra parte, vimos hir crescendo cada vez mais a razão entre o interválo Oe do [Página 26] foco ao Vertice, e o eixo ea ( ), e quando finalmete não há rezistencia da parte de cima se poderá tomar por infinito. Não concorre tudo isto confirmar-nos, em que a escavação de huma Mina se hade formar da mesma sorte que vimos na Preparação hir pelo movimento da Directrix, abrindo-se e estendendo-se o circulo até formar a parabole? Na falta de meios de poder calcular a rezistencia da terra nas diversas partes da curva para determinar a sua natureza, bastava, o que estâ dito para fazer a hypotezis plauzivel, porem a experiencia o confirma, pois medindo-se exactamente qualquer Mina se acha ser hum paraboloide. Alem disso, por que outro modo se poderia formar hum paraboloide? Não me canço em refutar o com que Mr. Dulacq, o pertende formar, por que involve tantos absurdos, que absolutamente não necessita de refutação. [Página 27] 10. Deixando pois todos os calculos, e raciocinios vãos, e inuteis, inferimos do que estâ dito I. Que se /n'úm terreno homogeneo/ se fizerem duas Minas, cujas cargas estejam na razão dos cubos das linhas de menor rezistencia, as Escavações serão paraboloides semelhãtes. Por que discorrendo pelo modo a cima, e tomando os augmentos momentaneos do raio oa sempre semelhantes, isto hé, sempre na razão das linhas de menor rezistencia, acharemos os Elpsoides correspondentes tambem semelhãtes, por se acharem sempre no fim desses espaços semelhantes por toda a parte rezistencias semelhantes (isto he semelhantes quantidades de terra para mover) e semelhantes sómas de forças communicadas, que vem a fazer a mesma relação entre as forças, e as rezistencias numa, e noutra Mina, o que farâ que o numero [Página 28] destes espaços momentaneos, serâ o mesmo tambem n'úma, e n'óutra, e por conseguinte compondo serão as suas sõmas, isto he os paraboloides semelhantes Q.E.D. II. Que sendo a linha de menor rezistencia a mesma, e as cargas diversas, a que tiver maior carga farâ maior abertura . He esta verdade assas evidente por si mesma; mas do que estâ dito se não pode tirar meio algum para determinar essa abertura, segundo a quantidade de polvora da carga. III. Que sendo a carga a mesma, serâ menor a abertura da quella, cuja linha de menor rezistencia for maior . He igualmente claro, e evidente, pois contra huma mesma potencia há maior rezistencia tanto de cima, como dos lados, e por consequencia não se abrirâ tanto. [Página 29] IV. Que no primeiro cazo, em que as Minas são semelhantes serâ a terra arrojada com igual velocidade ; por que nas peças semelhãtes, as cargas semelhantes arrojam bálas semelhantes com igual velocidade. Seria em mim temeridade querer levar mais longe esta Theorica, e querer á força deduzir della huma exacta explicação dos Fenomenos admiraveis da polvora incendida no ceio da terra, e derivar como faceis Corolarios a [sic] regras da Arte das Minas. Assim contentãdo-me com ter mostrado /segundo me parece/ palpavelmente como se forma a Escavação, passo a dar a Theorica de M. Muller pelo modo mais breve, claro, e methodico, que podér. [Página 30] Parte II Theorica M. Muller John Muller (1699-1784), alemão de nascimento, foi, em 1741, nomeado director da Academia Real Militar de Woolwich na Inglaterra; mais tarde, tornou-se aí professor de Fortificação e Artilharia, lugar que ocupou até ser reformado. A Teoria das Minas aqui referida é exposta por J. Muller no seu livro " The Attack and Defence of Fortified Places " , 2.a ed., publicado em Londres em 1757. Anastácio da Cunha traduz e sistematiza partes dessa Teoria. Esta Theorica não se emprega em raciocinios, nem em averiguações da cauza dos Fenomenos. Recebe-os das mãos da Experiencia, e sem mais gastar tempo se encaminha logo à practica. Eis aqui os principios, em que se funda. "Principio I" "A figura da Escavação da Mina he hum paraboloide" Este principio plenamente confirmado por exactas, repetidas, e authenticas experiencias, he o mesmo que Dulacq pertendeo [Página 31] em vão demõstrar por meio do raciocinio, e calculo, e que nos imaginâmos ter mostrado. Se o consegui-mos, ou se tambem trabalhamos debalde, dirâ o Leitor. M. Muller não se detem em averiguar, por que modo, e por que razão isto hé; para dar as Regras da Arte das Minas basta-lhe saber que o hé. [(a) Notta I] "Principio II" .(a) [Est. 1 Fig. 8] As figuras 8, 9 e 10 não se referem à estampa 1 mas sim à estampa 2, como se pode verificar. "Nas Minas feitas em hum mesmo terreno homogeneo o Frustro de Paraboloide ABED , que tem por altura a linha de menor rezistencia estâ sempre na razão da Carga." M. Muller quer provar este principio dizendo "Que ninguem poderâ dizer q. alguma terra da linha DE para baixo [Página 32] he arrojada para cima pela polvora, q. por consequencia a terra arrojada hé só a de DE para cima, isto hé, o Paraboloide truncado ABED , e que como os effeitos são proporcionaes ás cauzas, estarâ sempre a quantidade de terra arrojada, isto hé o Frustro ABED na razão da quantidade da polvora da carga." Quam pouco exacto hé este raciocinio! quantas objeções tem contra si! 1.o Nem todos concederão que de DE para baixo nenhuma terra sobe para cima. 2.o Quem nos segura que toda a terra de DE para cima hé arrojada pela polvora? Se M. Muller quer que toda a terra de DE para baixo seja somente [ comprimida] Na cópia manuscrita lê-se " comprida " . , porque razão o não serâ tambem, e não arrojada, parte da que fica de DE para sima? 3.o Se o effeito proporcional á cauza fosse nas Minas sómente a terra arrojada, concedendo-lhe que essa terra [Página 33] hé o Frustro ABED então se elle considera essa quantidade de terra determinada logo no primeiro impulso da polvora parece antes dever estar na razão do quadrado do diametro da carga como quer Dulacq. pag. ___ [sic] e se colige facilmente na Theorica da polvora: se porem a considera proporcional á sõma das forças cõmunicadas em todo o tempo, que a Mina rebenta, tambem erra, pois os effeitos da polvora sô são proporcionaes quando os obstaculos, q. move, e os espaços por onde os move, são porporcionaes ás suas quantidades. Esta asserção sô teria lugar nas Minas semelhantes, isto hé, na quellas, cujas cargas estão na razão triplicada das linhas de menor rezistencia. A verdadeira prova, que M. Muller dá deste principio, he quando mostra que sete experiencias feitas na Escola d'Ártelharia [Página 34] de la Fere correspondem com a mais escrupuloza exactidão aos calculos, que nelle funda. Problema Geral. "Determinar as dimenções, e relações dos Frustros dos paraboloides, ou excavações das Minas, mencionados no II Principio." [Est. 1 Fig 9 e 10] "Seja r da circumferencia de que hé [ raio] Na cópia manuscrita lê-se " raiz " , mas deve ser raio, de acordo com a tradução da palavra inglesa " radius " em Muller. A letra r aqui referida corresponde, como é óbvio, a . a unidade, isto hé, seja r=1,57 Ora o raio hé para a metade da circumferencia ou 1 he para 2r como os quadrados dos raios para as areas dos seus circulos, serâ 2r\vezes\delim{AE}^2 o Circulo de AE , 2r\vezes\delim{CF}^2 o circulo de CF , r\vezes\delim{AE}^2\vezesEG o paraboloide ABG , r\vezes\delim{CF}^2\vezesFG , o paraboloide CDG , e por consequencia r\vezes\delim{AE}^2\vezesEG-r\vezes\delim{CF}^2\vezesFG o Frustro ABCD . [Página 35] Seja P o parametro, e como a propriedade da parabole nos dâ P\vezes EG=\delim{AE}^2 , P\vezes FG=\delim{CF}^2 substituidos estes valores na expressão do Frustro teremos em seu lugar esta r\vezes P\vezes\delim{EG}^2 - r\vezesP \vezes \delim{FG}^2 : e como EG = EF + FG substituido este valor de EG se transformarâ esta expressão nesta, ; e como FB=EF + 2FG se transformarâ ainda nesta . Como r hé hum numero constante pode-se para mais facilidade desprezar quando se tratar sómente da comparação dos Sólidos, ou Frustros, e não da sua medição reduzindo a expressão a esta por ex. sejam ABG , abg , as escavações de duas Minas serâ pelo que acabando de dizer o Frustro ABCD para o Frustro abcd , como o sólido para o solido onde se vê que deixando [Página 36] r de fora preziste a analogia. Pela mesma razão quando a linha de menor rezistencia for a mesma, se poderâ deixar de fora, ficando a expressão reduzida a esta, o que facilita, e abrevia muito as operações." Com este problema se resolvem os tres seguintes, que com os dois Principios forma em suma a Theorica de M. Muller. Problema II "Dado o Frustro, e a linha de menor rezistencia achar o parametro da parabole." "Seja A o Frustro, b a linha de menor rezistencia, p o parametro. Escrevendo pois na equação , p em lugar de P , b em lugar de EF , e em [Página 37] lugar de FB /conforme as propriedades da parabole/ teremos esta equação e ordenando-a teremos esta , cuja raiz he ___" Tratando-se somente da comparação dos Sólidos pode-se deixar r de fora, e sendo a linha de menor rezistencia a mesma se pode deixar hum b de fora, ficando então a equação, pp+2bp=2A que dá Problema III "Dado o Frustro, e a linha de menor rezistencia achar o diametro da baze." "Como temos A , e b achado p pelo Problema antecedente a propriedade da parabole nos dá pelo que será o diametro buscado." "Problema IV." "Dada a linha de menor rezistencia e o diametro da baze achar o Frustro." "Chamemos 2a o diametro da baze teremos à hypotenuza FB /fig. ant./ Ora FB-EF , ou ; logo no sólido temos p conhecido conhecido conhecido e r cõstante, e por conseguinte conhecido todo o Sólido." Com estas equações se propoem M. Muller rezolver, e rezolve todos os problemas, que podem pertencer à Theorica das Minas, excepto porem hum que não toca, e que sem em- [Página 39] bargo disso me parece importantissimo, mas para o rezolver hé necessario saber achar as raízes das equações, o que se faz mais geral, e comõdamente pelo Methodo de Daniel [ Bernoulli] Na cópia manuscrita lê-se " Bernoville " M Muller Traité [ Analytique des sections coniques fluxions et fluentes] Na cópia manuscrita lê-se " Traité Analyque des sectiones consiques Fluxioens &c Fluentes " . O Título do livro de J. Muller agora referido é " Traité Analytique des sections coniques, fluxions et fluentes avec un essai sur la quadrature et un traité du mouvement " , publicado em Paris em 1760; os problemas em causa são tratados nas páginas 202 e 205 desse livro. "Problema 1" "Achar a menor raiz de qualquer equação racional, que não contenha mais de huma quantidade variavel." "He necessario igualar a equação à unidade, de sorte que a equação geral possa exprimir a equação par- [Página 40] ticular; depois disto hé necessario tomar tantos termos arbitrarios, A , B , C , quantas forem as raizes da equação, e multiplicar estes termos por ordem inversa /isto hé principiando sempre pelo ultimo/ cada hum por seu coefficiente, que nessa ordem lhe corresponde dos termos da equação, e a sua sóma serâ o termo seguinte por ex. aC+bB+cA=D , aD+bC+cB=E , aE+bD+cC=F & sic caetera, o que suppondo A=B=0 ,e C=1 dá 0, 0, 1, a , aa+b , , , , e o penultimo termo dividido pelo ultimo será proximè a raiz buscada: Assim He precizo notar que quanto mais se cõtinuar a serie, menos defferirâ a raiz da verdadeira, e que os termos arbitrarios A , B , C , de [Página 41] vem sempre ser cifras, e unidades. Todo o artificio deste methodo consiste em escolher os termos arbitrarios de sorte que a serie seja o mais convergente, que pode ser; mas para isto creio que so a pratica poderâ ensinar o caminho mais breve." [(b) Not. II ] Esta Nota II não se encontra no livro de Muller referido na nota 18. "Demonstração" (b) "Reduzindo este valor de x a huma serie infinita darâ [ ] Na cópia manuscrita lê-se ; a correcção foi feita de acordo com o livro de Muller: " Traité Analytique " . Ora como isto mesmo se acha buscando o valor de x por meio das series, segue-se que o valor achado hé proximè à raiz que se busca." "Problema 2" "Achar a maior raiz de huma equação qualquer racional, que não contenha mais de huma quantidade variavel." [Página 42] "Ponha-se a incognita elevada á mais alta potencia de huma banda, e todos os mais termos da outra de sorte que a equação se possa comparar com a formula geral e se seguirá a Regra do Problema antecedente, excepto que o consequente hé que se deve agora dividir pelo seu antecedente. Assim teremos 1 , a , aa+b , , , [ _] Na cópia manuscrita há mais uma parcela " +2bc " , manifestamente repetida e que não se encontra no " Traité Analytique " de Muller. +2ad , e serâ a raiz buscada. A demõnstração hé a mesma, que a do Problema antecedente, e se notará da mesma sorte que quanto maior for o coefficiente a do segudo termo mais convergerâ a serie" Supposto isto vamos ao nosso cazo. [Página 43] Problema Dado o Frustro, e o Raio da base de huã Mina achar a linha de menor rezistencia. Por meio das equações C. e E. podemos ter huma, em que não aja mais que a incognita b /pois p tambem o hé neste cazo/ v. g. excrevendo na equação E. em lugar de p o seu valor achado na equação D. , temos deixando r de fora para simplicar mais o calculo, e pondo o radical de huma banda, e os mais termos da outra, quadrando ambos os membros, e ordenando, teremos ordenando finalmente esta equação para ser rezolvida pela 1.a regra de Daniel [ Bernoulli] Na cópia manuscrita lê-se " Bernouilli " . serâ, e pela 2.a e reduzindo a , e A a numeros em huma, ou outra darâ [Página 44] proximamente o valor de b . Exemplo I. Seja o raio igual à unidade, e o Sólido A duplo do Cubo do raio, escrevendo pois 1 em lugar de a , e 2 em lugar de A , será a equação, cuja raiz se busca /ordenando-a para ser rezolvida pela regra segunda/ , e tomando para primeiros termos 1 , 1 , 1 , 0 teremos [ 1 , 1 , 1 , 0 , 3 , 6 , 10 , 19 , 37 , 69 , 129 , 244 , 360 , 664 ,] Segundo a regra indicada, entre o termo igual a zero e o termo igual a três desta sequência, faltam os termos . e dividindo o ultimo termo 664 [ pelo] Na cópia manuscrita lê-se apenas " pe " . penultimo 360 teremos proximè. Para vermos se o valor achado hé sufficientemente exacto, não temos mais do que formar pelo Probl. III o sólido A pois temos o raio 1 , e a linha de menor rezistencia 1.844 , e se acharâ que differe de Sólido 2 em pouco [Página 45] mais de . Exemplo II Seja agora a unidade o diametro da baze, e o Sólido A do cubo do diametro; escrevemos por conseguinte em lugar de a , e em lugar de A , o que nos dá /ordenando a equação para ser resolvida pela primeira regra/ ; mas como das series, que se acham para esta equação nenhuma converge bem, será melhor que expulsemos [ b ] Na cópia manuscrita não está indicada a incógnita a eliminar, mas é imediato que se trata de b , tirado da equação E . da equação C. , o que nos dá [ ] A equação obtida como resultado da eliminação referida na nota anterior é a indicada; na cópia manuscrita lê-se: . , que ordenada para ser rezolvida pela primeira regra, fica e substituidos, os numeros, as letras, e suppondo 1 , 1 , 1 , 1 teremos 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 10 , 14 , 19 , 26 , 36 , 50 , 69 , 95 , 131 , 181 , 250 , e por conseguite proximè. Ora o valor de b [Página 46] tomando na equação E. he , que substituidos os numeros, as letras, dá b=.164 , e formado o Sólido se achará igual a .0623 &c que differe do verdadeiro em pouco mais de . [Página 47] Parte III Pratica das Minas Deffiniçoes Estas definições encontram-se no livro de Muller " The Attack and Defence " na página 213, embora aí não estejam numeradas; daqui em diante é sempre citado este livro de J. Muller e não mais o " Traité Analytique " . 1. Por Mina se entende huma passage por baixo do chão continuada até de baixo do lugar, que se quer fazer saltar, por meio de certa quantidade de polvora, que se poem no fim da dita passage. 2. A passage até o lugar onde está a polvora se chama Galeria. 3. O lugar onde se mete a pol- [Página 48] vora se chama Camera. 4. Huma linha tirada do centro do espaço occupado pela polvora perpendicularmente à superfice mais vizinha, se chama linha de menor rezistencia. 5. A cava, que a Mina forma quando Rebenta, se chama escavação. 6. O fogo se cõmunica ás Minas por hum canudo de coiro, ou pano grosso, cujo diametro hé de polegada, e mea pouco mais ou menos, chamado Salcichão, e que desde a Camera se estende até o principio da Galeria, onde se lhe poem huma mecha de tal sorte regulada, que possa hum Mineiro, [Página 49] que dá fogo, ter tempo de se retirar, antes que o fogo chegue a Camera. 7. As Minas feitas pelos sitiadores no Attaque de huma Praça se chamam simplesmente Minas, e as que são feitas pelos sitiados contra Minas; mas tanto humas, como outras se fazem do mesmo modo, e para o mesmo effeito, isto hé, para fazer voar o inimigo, e as suas obras. Antes de ser attacada a Praça, e muitas vezes no mesmo tempo, em que se edifica, para poupar despezas, se fazem sómente as principaes Galerias. Os sitiados fazem geralmente grande quantidade de pequenas Minas de baixo da esplanada de seis, sete ou outo pez de profundo sómente, as quaes se chamã Fogassas. Tãobem fazem outras a que chamã Cofres, ou Caixoens, [Página 50] que são verdadeiramente huns Caixoens de madeira de trés, ou quatro pez de comprido, e hum ou hum e meio de largo enterrados quatro cinco, ou seis pez de baixo da esplanada, e distantes doze pez huns dos outros. (M.r Muller Att. and. Deff. pag 214) Como se devem fazer as Galerias, e as Cameras "As Galerias, que se fazem na fortificação antes de ser atacada a Praça são divididas em varios ramaes, que se dirigem a diferentes lugares, tem geralmente quatro pez de largo, e [Página 51] cinco de alto, e se fazem de abobeda, e de pedra, e cal, para sustentar a terra, e durarem mais tempo , pois sendo a terra sustentada com espeques de madeira continuadamente estarão precizando de concerto. Não sendo porem necessario, que durem muito tempo, faz-se então a Galeria de tres pez de largo, e cinco de alto, e se sustenta a terra com espeques de madeira. Principiada a Galeria, e sabida a sua direção vai o primeiro Mineiro trabalhando de joelhos, e ao mesmo tempo está outro de traz delle para hir deitando a terra n'úm cesto, ou carrinho, que estando cheio, leva até á entrada. Se o principio da Galeria hé no fundo de huma cova ou poço não muito [Página 52] alto, deve estar outro Mineiro em cima, para deitar abaixo huma pequena corda com hum gancho de ferro, em que o Mineiro debaixo pendura o cesto, e em quanto este se pucha, e vaza vai enchedo outro. Sendo o poço mui fundo, e a Galeria mui comprida se poem na boca do poço para mayor expedição hum Sarilho com a sua corda enrolada, em cujas pontas se atam dois cestos, de sorte, que em quando se puxa hum para cima vai o outro para baixo como os alcatruzes de huma nora. Quando o primeiro Mineiro se acha cançado o que lhe está imediato occupa o seu lugar, e elle vai para o ultimo: assim se vão succedendo huns e os outros [Página 53] até todos estarem cançados, e então são rendidos por igual numero, que geralmente hé de duas em duas oras. Quando o primeiro Mineiro cava mais terra, do que hum homem só pode acarretar se poem de traz delle outro em proporcionada distancia, o qual [ recebendo] Na cópia manuscrita lê-se " rebendo " , no original de Muller está " ... who takes the basket from the first ... " . delle o cesto o leva até o principio da Galeria; e á medida, que esta vai crescendo se vão pondo mais destes homens para acarretar a terra, a iguaes distancias para hirem passando os cestos de mão, em mão, e para evitar toda a confuzão. Continuada a Galeria por algu espaço os Mineiros serão seguidos de Carpinteiros, que vão segurando com espeques a terra superior, não sendo barro forte [Página 54] ou greda para não cahir. E isto se fas fixando na terra hum páo de prumo de hum lado, outro do outro, com hum atravessado em cima, e tirando de cima deste a terra que baste para poder meter-se por cima delle huma taboa de pinho, e sustentada esta no outro extremo do mesmo modo sustentará a terra. Deve sempre haver cuidado, em que os páos de prumo fiquem bem fixos, para o que se lhe metem á força boas cunhas no pé; aliás o abálo da terra cauzado pelas descargas de Artelheria, e pelas Minas, que rebentarem a o pé, pode fazer cahir a terra com perigo das vidas dos Mineiros. Em quanto a obra se vai conti- [Página 55] nuando uzã os Mineiros do lível O mesmo que nível; expressão arcaica. dos Pedreiros, para que a Galeria não suba nem desça; e sendo-lhe necessario desviar-se da direcção, que levam se servem de hum esquadro para o fazerem sempre em angulos rectos. Continuada a Galeria até o lugar, onde se hade collocar a polvora, fazem os Mineiros a Camera, que geralmente hé de figura Cubica, e capaz de receber em si huma Caixa de madeira, a qual encerre a polvora necessaria pra a carga; esta caixa se cobre de palha, e sacos de area para impedir, que a polvora adquira alguma humidade. A Camera se faz sempre mais baixa que a Galeria; havendo lu- [Página 56] gar para meter a Caixa, carregar a Mina e especar bem a parte superior, hé o que basta. Deve-se observar, que se os Sitiados podem fazer subir agoa do fosso, e incomõdar com ella a Galeria em vez de mais baixa se deve fazer a Camera mais alta, que a Galeria alias não deixarão de introduzir nella a goa, e deitar a perder a Mina. Quando a Galeria hé mui comprida, e estreita achar-se o ar tão estagnado, que nem se pode ter luz aceza nem respirar, o que obriga os Mineiros a sahir da Mina a miudo. Tem-se inventado varios modos de prevenir este enconveniente. Uzam alguns de hum grande folle a cujo bico applicam hum canudo de couro de tres polegadas de diametro pouco mais ou menos, o qual chega desde o [Página 57] principio da Galeria até o fim onde os Mineiros trabalham, ou tambem penduram hum saco feito á maneira de funil de dois pez de diametro em cima, e tres polegadas em baixo com arcos pela parte de dentro para se conservar o pano sempre estendido, e lhe appliçam o canudo de couro, porem quanto a mim não pode servir de nada este methodo, por que a differença da rarefacção do ar superior, e inferior não pode cauzar circulação sensivel. O melhor meio hé abrir buracos para a parte decima de figura Conica a cada quarenta, ou cincoenta Jards, o que em partes se pode fazer com huma broca de varios pedaços, e alargar-se de pois pela parte debaixo, mas isto nem sempre se pode fazer especialmente estando a Galeria debaixo de alguma muralha alta [Página 58] ou edefficios, ou de parte, em que o inimigo o possa perceber, pois não deixará de deitar alguma massa fumoza dentro da Galeria para suffocar os Mineiros. Tenho informaçoens de que hum canudo, ou calhe de páo, que chegue desde o principio até o fim da Galeria cauza a circulação, que baste para os Mineiros poderem trabalhar sem inconveniente. Affirmã alguns que o fogo de carvão posto na boca da Galeria produz o effeito dezejado, o q duvido, excepto se uzar do canudo. Deve-se observar, que quando se uza do Canudo de couro deve este ser feito de modo que fique aberto, para que possa correr o ar por elle livremente aliás seria inutil." [Página 59] Como se devem carregar, e alcancar Esta palavra, que conservámos da cópia manuscrita, não a encontrámos nos dicionários da Língua Portuguesa consultados; supomos que devia ser acalcar, o mesmo que calcar; o título no original inglês é " Of loading and stopping the Mines " . as Minaz Pag. 218 "Acabada a Galeria, e a Camera, se faz huma caixa assas forte de madeira do tamanho, e figura da Camera e huma terça parte mayor que o volume da polvora, que hade conter, no fundo, e pelos lados desta caixa se poem alguma palha, e esta se cobre com sacos vazios para que a polvora nam adquira humidade, no lado proximo á Galeria se abre hum buraco perto do fundo para por elle pas- [Página 60] sar a Salcicha, a qual se prende no fundo por meio de huma cavilha de páo, para que se os inimigos chegarem á boca da Galeria a não possã arrancar. Isto feito se deita na dita caixa a polvora solta e se cobre tambem com palha, e sacos; sobre tudo isto se poem a tampa da caixa, e se carrega bem para baixo com fortes espeques, e para que estes fiquem mais seguros se fixam da parte de cima em pranchas, metendo-lhe quãtas cunhas for possivel. Feito isto os espaços vazios entre os espeques se enchem de pedra, e barro, e se calca o mais que puder ser; por que o minimo descuido neste trabalho hé o que basta para alterar consideravelmente o effeito da Mina. [Página 61] Depois disto se entroduz a calhe de madeira desde a boca da Galeria até á Camera com alguma palha no fundo; mete-se-lhe dentro o Salcichão com palha por cima, e se cobre tudo com a sua tampa de páo pregada com pregos. Deve haver especial cuidado em não opprimir muito a calhe, quando se ataca a Galeria, para não damnificar o Salcichão, que pode não deixar tomar fogo á polvora, e impedir deste modo, que a Mina rebente. Attaca-se pois a Galeria com pedras, e barro tudo bem calçado ate seis ou sete pez mais longe da Camera, que o comprimento da linha da menor Resistencia. Para impedir, que a Mina re- [Página 62] bente para a parte da Galeria, e fazer que todo o seu effeito seja para cima, se faz a Galeria com hum ou dois cotovelos em angulos rectos, e tudo bem seguro com espeques, e pranchas, e os intervallos attacados de pedra, e barro ou terra. Deve-se observar que a distancia até onde se hade attacar a Galeria, se deve contar em linha recta desde a Camera, e não seguindo os cotovellos da Galeria." Regras Para as curvas, e Escavações das Minas. Hé precizo primeiro saber, que "os Mineiros costumã ordinariamente reduzir os differentes terrenos, em [Página 63] que fazem as Minas a 6 especies, que são 1 Terra solta, ou area 2 A terra ordinaria 3 A pissarra 4 O barro 5 Barro misturado com pedras 6 Toda a especie de Alvenaria Achou-se que o pé cubico da primeira peza, 95 libras, da segunda 124, da terceira, 126, da quarta, 135, e da quinta, 160. Da sexta não se pode determinar o pezo com exactidão. Pertendem que para levantar huma toeza cubica da primeira especie de terreno são necessarias 9 Libras de polvora; 11 para a segunda; 13 para a terceira, [Página 64] 15 para a quarta; 18 para a quinta; 20, ou 25 para a Alvenaria sobre a terra, e 35, ou 40 sendo de baixo da terra. Medidas Francezas. M. de Vauban no segundo Volume do seu attaque, e defensa de Praças diz que as seguintes Regras nunca faltam Para uma toeza Cubica de terra ordinaria ......... 14lb pissarra ................... 17lb terra misturada ........ 18lb barro........................ 19lb 22lb [ 15lb ] No livro de Muller pode ver-se que a carga de 22lb corresponde a terra gordurosa ou dura, misturada com pedra, e a de 15lb , e não 25lb como se lê na cópia manuscrita, corresponde a areia húmida. Estas Regras de M. de Vauban fazem as cargas das Minas maiores, que as dos Mineiros modernos. Só os esperimentos he que podem decidir esto ponto; pelo que [Página 65] aconselhará aos Mineiros fizessem sempre (podendo) huma mina de esperiencia, em cada novo terreno, que achassem. Regra I O autor sistematiza os problemas por meio de 10 regras e as operações de cada regra também são numeradas; os dados utilizados são os mesmos do livro de J. Muller, mas lá não está feita a sistematização dos problemas, nem a numeração das operações em cada um deles; optámos pois por não usar o itálico que indica tradução. Na cópia manuscrita as Regras também aparecem sem o sinal de transcrição. [Est. 1] Para conhecer o Frustro do Paraboloide mencionado no principio II.* [Fig. 9] 1. Tome-se o duplo da differença entre a hippotenuza FB. e a linha de menor rezistencia, EF. 2. Multiplique-se esta quantidade pela linha de menor rezistencia, EF. 3. Multiplique-se este producto pela hyppotenuza, FB. [Página 66] 4. Multiplique-se este producto por 1.57, e este ultimo producto será o Frustro ABDC buscado. Exemplo. Seja a linha de menor rezistencia FE. , 10 pez; a hippotenuza FB , se se não conhece antecedentemente se acha tirando, a raiz quadrada da soma dos quadrados da linha de menor rezistencia, e do raio da baze, e sendo este tãobem 10 pez a soma dos 2 quadrados será 200 , e a sua raiz, quadrada 14.14 igual a hyppotenuza FB . Então as quatro operaçoens desta Regra darão 1.a 8.28 . 2.a 82.8 3.a 1170.792 4.a 1838.137 , e será o Frustro, 1838 pez [Página 67] cubicos, desprezando os decimaes. Regra II. Tendo o valor do Frustro ABDC , e alinha de menor rezistencia EF para conhecer o parametro (parametro he duplo da differença entre a hyppotenuza, e a linha de menor rezistencia). 1. Multiplique-se a linha de menor rezistencia EF pelo numero 1.57 . 2. Por este producto se divida o duplo do Frustro, ABCD . 3. Ajunte-se a esta quantidade o quadrado da linha de menor rezistencia, EF . [Página 68] 4. Tire-se a raiz quadrada desta soma. 5. Desta raiz se subtrahia a linha de menor rezistencia, este resto será o parametro. Ex. Seja a linha de menor rezistencia 10 , e o Frustro 1838.137 teremos. 1.o 15.7 . 2.o 234.14 3.o 334.14 4.o 18.28 5.o 8.28 e sera 8.28 . o parametro buscado. Regra III Tendo o valor do Frustro ABCD , e a linha de menor rezistencia para achar [Página 69] o raio EB da baze. 1. Ache-se pela Regra II o parametro. 2. Ajunte-se deste parametro à linha de menor rezistencia 3. Multiplique-se esta soma pelo parametro. 4. Tire-se a raiz quadrada deste producto, e esta raiz será o raio buscado. Ex. Seja 1838 o Frustro, a linha de menor rezistencia 10 teremos 1.o 8.28 . 2.o 12.07 . 3.o 99.93 . que hé proximè igual a 100 por excesso, pelo q. 4.o 10.0 e será 10 , o raio de baze. [Página 70] Regra IV. Para determinar a carga de qual quer Mina proposta Proposta a Mina, isto hé, dado o terreno, em que hade ser feita, e o valor do Frustro ou quantidade de terra, que se quer levantar, ou algumas das suas dimençoens, pelas quaes por meio das tres regras antecedentes se possa determinar a sua solidez, não há mais do que multiplicar o numero de Libras, que requer a toeza ou pé Cubico desse terreno, pelo numero de toezas ou pez Cubicos, que contem o Frustro. Ex. Seja o terreno, da segunda especie; o Frustro 1838. pez, ou [ 8.509. ] Na cópia manuscrita lê-se " 8.5.09. " ; como uma toeza corresponde aproximadamente a 6 pés, o quociente de 1838 por dá aproximadamente 8,509 . toezas. Ora a toeza Cubica de terreno da segunda especie [Página 71] requer 11 Libras de polvora, e assim multiplicando 11 por 8.509 , teremos 93.599 , ou que serão as Libras de polvora necessarias. Quem duvidar da lotação ordinaria da polvora, que assignã às diversas especies de terrenos fará huma esperiencia no terreno, em que houver de trabalhar, e medindo exactamente o Frustro a quantidade de Polvora da carga dividida pelo numero das toezas ou pez cubicos, que o Frustro contem lhe dará a conhecer quanta polvora requer a toeza, ou pé Cubico desse terreno. Ex. No terreno, que me propuzeram fiz huma Mina que carreguei com 120 Libras de polvora, medindo o Frustro o achei de 2457. pez cubicos, ou 11.375 , toezas cubicas dividindo 120 por 11.375 , acho que este [Página 72] terreno requer 10.549 ou libra por toeza. Regra V. Para fazer Minas semelhantes, isto hé, cujas escavaçoens sejã semelhantes, (cuja terra por conseguinte será arrojada com igual velocidade) sendo o terreno o mesmo, e dadas as linhas de menor rezistencia. Devem ser as Cargas como os cubos das linhas de menor rezistencia. Ex. Seja a linha de menor rezistencia da primeira, 10 ; a da segunda, 20 , então se a carga da primeira hé acharemos a carga da segunda, dizendo como 1000 (cubo de 10 ) [Página 73] hé para 8000 (cubo de 20 ): assim hé para hum quarto termo, que será 750 o proximè, e carregando a segunda Mina com 750 libras teremos huma escavação semelhante à primeira. Regra VI. Sendo o terreno o mesmo e dadas as cargas. Devem as linhas de menor rezistencia ser como as raizes cubicas das cargas. Ex. Seja a Carga da primeira Mina ; a sua linha de menor rezistencia, 10 ; e a carga da segunda 750 . Ora as raizes Cubicas destas cargas se acham ser proxime [Página 74] como 1. para 2. pelo q. temos 1:2::10:20 , e 20 será com pouca differença a linha de menor rezistencia da segunda Mina Regra VII. Sendo os terrenos diversos, e dadas as linhas de menor rezistencia Devem ser as Cargas em razão composta dos cubos das linhas de menor rezistencia, e das Fortalezas dos terrenos (tomo as forças dos terrenos na razão das quantidades de polvora, que requerem por toeza, ou pé Cubico,) e para mais facilidade. 1. Determinem-se as Cargas pela Regra V como se o terreno fosse o mesmo. [Página 75] 2. A quantidade de polvora, que requer por toeza cubica o terreno da segunda Mina se divida pela quantidade que requer o da primeira. 3. Multiplique-se este quociente pela carga achada na primeira operação, e este producto será a carga buscada. Ex. Seja a linha de menor rezistencia da primeira 10 ; a da segunda, 20 ; o terreno da primeira da 2.a especie; o da segunda da 3.a então se a carga da primeira hé libras teremos. 1.a 750 lb carga da 2.a se o terreno fosse o mesmo 2.a 3.a 886.363 ou libras será a carga buscada. [Página 76] Regra VIII. Sendo os terrenos diversos, e dadas as cargas. Os cubos das linhas de menor rezistencia hão de estar na razão composta da directa das cargas, e da inversa das Fortalezas dos terrenos, pelo que para achar a linha de menor rezistencia conveniente para a segunda Mina. 1. A polvora, que requer o terreno da 2.a Mina se divida pela que requer o da 1.a. 2. Por este quociente se divida a carga da segunda. [Página 77] 3. Multiplique-se este segundo quociente pelo Cubo da linha de menor rezistencia da 1.a. 4. Divida-se este producto pela carga da primeira. 5. Tire-se a raiz cubica deste quociente, e esta raiz será a linha de menor rezistencia da 2.a para haver de ser semelhãte á primeira. Ex. Seja o terreno da primeira da 2.a especie; o da segunda da 3.a a carga da primeira, ; o da segunda : então se alinha de menor rezistencia da primeira hé, 10 , teremos. 1.a 2.a 750 [Página 78] 3.a 750000 4.a 20 . será a linha de menor rezistencia da segunda. A transcrição encontra-se de acordo com a cópia manuscrita; contudo a regra VIII refere cinco passos e aqui só estão os resultados de quatro deles; 20 seria o resultado do 5.o passo e falta o resultado do 4.o passo que é, aproximadamente, 8000 . Regra IX. Dada a carga de huma Mina, e o Frustro (ou algumas das suas dimençoens por meio das quaes pelas Regras I. II e III se possa conhecer) para saber a que especie pertence o terreno, em que foi feita. Divida-se o numero das Libras de polvora da carga pelo numero das toezas cubicas, que contem o Frustro, e o quociente indicando que polvora cabe a cada toeza indica a que especie pertence o terreno. Ex. Seja a carga 120 lb o Frustro [Página 79] 2457 pez cubicos, ou 11.375 toezas cubicas. Teremos 120 dividido por 11.375 igual a 10.5 , o que mostra ser o terreno, em que esta Mina foi feita alguma couza mais leve ou menos forte, que o da segunda especie. Regra X. Dada a carga de huma Mina, e proposto o diametro da boca para achar a linha de menor rezistencia. Busque-se na nossa Taboa o diametro proposto em todas as Colunas até achar defronte na divisão, que tem por titulo cargas, a carga dada, e o titulo da Coluna indicará a linha de menor rezistencia buscada. Ex. Seja a Carga dada 2204 libras [Página 80] e o diametro de 64 pez. Busque-se o numero 64 . na divisão dos diametros em todas as Colunas até se achar defronte na das Cargas o numero 2204 , e no titulo da Coluna se achará a linha de menor rezistencia de 18 pez. Note-se que até um exemplo é dado para ensinar a utilização da Tábua do autor. Não sendo pela Taboa só Rezolvendo a equação do Problema ultimo, hé que se pode achar esta linha para o que se não podem dar regras de pratica semelhantes ás antecedentes. A primeira Tábua encontra-se no livro de Muller; contudo, os dois primeiros espaços em branco na cópia manuscrita que se transcreve, são ocupados por zeros na referida Tábua. [Página 81] A segunda Tábua também faz parte do livro de Muller. Advirta-se que nesta Taboa de M. Muller /suponho q. por cautela/ muito maiores cargas do q. rezultão dos principios sobre q. he calculada. [Página 82] [Página 83] [Página 84] [Página 85] [Página 86] [Página 87] Os uzos destas Taboas são tão claros que me parece inutil demorar-me em explica-los. Comtudo hé necessário advertir que todas são feitas na suppozição de hum terreno, que requer 11 libras de polvora por toeza, e por conseguinte a carga, que acharmos correspondente a huma escavação determinada se deve dividir por 11 , e multiplicar pelo numero, que exprime a fortaleza do terreno, em que foi feita essa Mina, e o numero, que rezultar será o das libras de polvora necessario para a carga. Ex. Tenho de fazer huma Mina n'úm terreno, que requer 13 libras de polvora por toeza, e cuja linha de menor rezistencia, e raio são cada hum de 20 pez: a carga corres- [Página 88] pondente a esta linha, e raio na Taboa de M. de la Valiere hé de 750 libras multiplique-se 750 por , e o producto he o numero de lb da carga componente. Da mesma sorte dada a carga, e o terreno se achará a escavação correspondente deste modo. Divida-se o numero, que exprime a fortaleza do terreno dado por 11: divida-se por este quociente a carga dada e a linha, e raio que nas Taboas corresponder ao numero, que vezinhar determinarão as escavações. Ex. sei que lb hé a carga de huma Mina feita n'úm terreno que requer 13 lb por toeza divida-se por e o quociente será 750 ; busque-se este numero na Taboa de M. de la Valiere, e a linha de menor re- [Página 89] zistencia, que lhe corresponde que hé de 20 pez determinará a escavação, e da mesma forma se uzará da Taboa de M._Muller. M. Muller pag. 239. "Ainda que as camaras se fazem ordinariamente cubicas comtudo sendo a quãtidade de polvora consideravel será mais vantajozo fazelas chatas pois não sómente ficará o fundo da escavação mais espaçozo, mas tambem a linha de menor rezistencia, que sempre se toma do centro da camara será mais proporcional à terra superior. Seria bom quanto a mim, que as camaras se fizessem todas da mesma altura da da Mina de experiencia. Nesse cazo se acharia o lado da camara multi- [Página 90] plicando a altura dada por 55 (por que 55 . hé o numero das lb. que peza hum pé cubico de polvora ordinaria) Esta nota dentro de parêntesis não se encontra no livro de Muller. e dividindo por este producto a quantidade de polvora dada a raiz quadrada deste quociente será o comprimeto buscado. Por ex. para achar o lado de hua caixa, que hade conter 360 lb. de polvora cuja altura he 1 pé (e para a facilidade de computo será melhor que em todos os cazos seja a altura sempre de 1 pé) O mesmo da nota anterior. . Temos então 55 . multiplicado por 1 he 55 . e 360 dividido por 55 he 6.5455 cuja raiz 2.558 pez ou 30.7 polegadas será o comprimento buscado. N. B. deve-se observar que a caixa hade ser huma quarta parte maior que o volume da polvora, que encerra por cauza [Página 91] da palha, e sacos, de que se hade guarnecer por dentro: e assim sendo a quantidade de polvora 360 lb se lhe deve ajuntar a quarta parte, que hé 90 , e a soma 450 dividida por 55 dará 8.1818 cuja raiz quadrada 2.86 pez ou 34 polegadas será o lado, que se busca. Tão bem não será máo observar que quando succede ficar a camara sobre huma rocha, ou outra qualquer substancia dura, encontrando então a força ou acção da polvora maior rezistencia da parte debaixo se empregará toda em levantar a terra superior; e por conseguinte será o effeito da Mina muito maior que o da mesma quantidade de polvora collocada sobre outra substancia mais branda. Pelo que se a Camara se coloccar sobre huma plataforma de fortes pranxoens, ou de pedras será necessario menor [Página 92] quantidade de polvora para a carga da Mina. Se se fizerem vazos da figura de hu cone truncado sufficientemente abertos em cima de sorte que nelles caibã as cargas competentes ás Minas podem ter grande serventia nas Praças sitiadas, porque postos sobre huma plataforma bem firme, e bem especados da parte de cima pouca porção de Galeria necessita attacar-se, e logo que a Mina rebentar podem os Mineiros entrar na Galeria retirar o vazo alguma couza mais para traz e carregado outra vez o que se pode repetir varias vezes, de sorte que na mesma Galeria se podem fazer rebentar varias Minas, e com bem pouco trabalho. (Pag. 243) [Página 93] Como se derigem as Galerias. O texto que se segue diz respeito à Estampa 3 e não à Estampa 2; todas as figuras desta estampa vêm no livro de Muller, página 246. [Est. II Fig. 1. ] "Supponhamos que o poço se hade abrir em A , e a Mina de profundidade determinada hade ser debaixo do objecto B . A primeira couza, que se hade fazer hé achar exactamente a distancia AB . ou por trigonometria ou por qualquer outro meio depois se deve achar tambem exactamente por meio de huma boa agulha, e hum compasso a inclinação da linha AB . a respeito do Sul, e Norte que supporemos reprezentada pelo angulo B A N . Abre-se então o poço de 5 ou 6 pez para cada parte, e tão fundo como o deve ser a Mina. Começa o Mineiro a dirigir a Galeria, segundo o dito angulo, servindo-se do lível Mesma observação da nota 29. dos pedreiros para a levar horizontal, e continuada ella a vai me- [Página 94] dindo ate se achar debaixo do objecto B . e ali forma a Camara. Se o objecto B está mais alto ou mais baixo, que o lugar onde se fez o poço subtrahe-se ou ajunta-se à altura deste a differença das alturas dos lugares A , e B . Pode [Fig. 2] succeder encontrar-se algum obstaculo no caminho, como hum rochedo, agoa, ou lugar alagadiço, em taes cazos se faz a Galeria com cotovelos, em angulos rectos v._g. volta-se em angulo recto de C para D . tendo passado o obstaculo se vai de D . para E por huma direcção paralella a primeira parte AC : chegando a E , se abre hum caminho para F perpendicular a D E , e se faz E F igual a C D por este modo se achará o ponto na primeira direcção, [Página 95] na qual se continua até que a soma das tres partes AC , DE , FB seja igual à distancia dada do objecto B . até o poço A . Varios cazos podem ocorrer na condução das Galerias, que não se podem adivinhar, nem descrever, pelo que os deixarei à industria, e Sciencia dos Mineiros experimentados. Huma couza de suma importancia hé que a Mina se ache exactamente debaixo do objecto, que sequer fazer saltar aliás se perde muito tempo, trabalho, e despeza inutilmente. Hé tambem igualmente necessario conhecer ao justo a linha de menor rezistencia para determinar a carga competente; se esta linha se não pode conhecer com exactidão necessaria será sempre melhor dar-lhe polvora demais, que [Página 96] de menos." (Notem bem o que se segue os Mineiros, que não tem se não pratica). "O Leitor conhecerá facilmente que hum bom Mineiro deve ser bem versado na parte pratica da Geometria sem a qual lhe será impossivel conduzir as Minas cõ alguma certeza, e por isso aconselho a aquelles, q. dezejã entender bem esta materia, que primeiro estudem Geometria." Minas de differentes castas "Se huma Mina tem huma só camera tal [Fig. 3] como A . se chama simples; se tem duas dupla, ou dobre; se tem tres, tripla & sic caetera. N'úma Mina simples feita debaixo do reparo de huma Praça para abrir brecha não deve ficar a boca da Galeria defronte do [Página 97] lugar onde se determina fazer a Camara, antes pelo contrario se deve abrir, ou de hum lado ou do outro, e fazer a Galeria com dois cotovelos B e C para poder ficar mais bem attacada, e com mais segurança, e para que a distancia da boca O á camara possa ser maior que a linha de menor rezistencia, aliás faria a Mina o seu effeito para a banda da Galeria. Deve-se tambem observar que a Camara está no meio de hum contraforte, por cuja cauza fará maior brecha do q. se estivesse na terra por detraz da muralha. [Fig. 4]Quando se fas huma Mina dobre debaixo do reparo para abrir brecha deve ficar a boca O da Galeria quanto mais perto se puder julgar do meio do intervalo dos dois contrafortes. Conduzida a Galeria por toda a grossura da muralha em linha recta se volta para a direita, e esquerda em forma de T pelo que se dá a estas Minas o [Página 98] nome de Mina T , e se collocam as Camaras nos contrafortes vizinhos a iguaes distancias da Galeria direita. Esta Mina dobre abrirá muito maior brecha, que huma simples, e por esta razão se prefere a qualquer outra. Mas havendo de fazer huma Mina [Fig. 5]tripla debaixo do reparo se procurará abrir a Galeria em O defronte do contraforte, e voltando para a direita, e esquerda da mesma sorte se collocam as Cameras AB nos dois contrafortes adjacentes. Pelo que toca á Galeria da terceira C conduz-se esta á roda do contraforte, e se colloca a Camera no fim delle. Esta ultima se carrega ordinariamente com 50 arrates de polvora mais que cada huma das outras, deve porem haver grande cuidado na conducção da calhe da Salsicha para que seja igual em comprimento à da Camara B (ou A ) aliás não [Página 99] pegará o fogo em todas tres ao mesmo tempo, e pode não pegar na Camera C. o que muitas vezes succede, e não se conseguirá o effeito dezejado. Raras vezes se uza de Minas mais que triplas nos sitios das Praças, mas quando se quer demolir qualquer obra se fazem tantas, quantas são necessarias para demolir huma face inteira de huma vez, o que se faz communicando o fogo a todas ao mesmo tempo; isto hé, todos os Salsichoens se vão terminar em hum e de tal sorte se dispoem que as suas partes desde a Camara até o ponto, em que se ajuntam sejam exactamente iguaes. Advertencia Ainda que nas ultimas duas figuras suppuz a boca O da Galeria exactamente [Página 100] no meio do interválo das duas Minas lateraes bem pode o Leitor ver que he isto huma couza impossivel na pratica, por que nem os lugares ne as distancias dos contrafortes se podem ver por fora da muralha por consequencia huma mera estimativa hé que pode servir de guia; porem continuada a Galeria por toda a grossura da muralha se pode dirigir a Galeria para a direita, e esquerda até encontrar os contrafortes, e então achando-se a distancia de hum maior que a do outro se disporá a calhe, e salsichão da menor distancia em ziguezague. Em todas as Praças fortificadas por M. de Vauban a distancia do centro de hu contraforte a outro vizinho hé sempre de 18 pez sendo a muralha da mesma altura do reparo, e de 15 sendo mais baixa, e desta sorte achado hu contraforte se sabe ja a distancia, que vai delle ao mais vizinho mas, em qualquer outra fortificação de nada serve esta observação. [Página 101] (Mr Muller Att. and Deff. pag. 54) Poucas Praças há que não sejam contraminadas, e quando os sitiados se vem obrigados aceder á superioridade dos sitiadores tanto em gente como em Peças de Artelharia, e já sem esperança de restaurar as obras perdidas, não faltarão de dar fogo ás suas Minas, como ultimo, e unico meio, que lhe resta para poder retardar os progressos do inimigo, e fazelo voar com as suas mesmas obras, obrigando-o assim attaca-las de novo, e a fazer novos alojamentos no mesmo lugar, que ao principio julgava seguro. Hé por consequencia necessario mostrar o modo de achar as Minas dos sitiados para prevenir o seu effeito ou destruir a maior parte dellas. [Página 102] Para este effeito se abrem pòços na terceira paralella de 7 ou 8 pez [ quadrados] Na cópia manuscrita lê-se " 7 ou 8 pez em quadro " , enquanto no original inglês se lê " 7 or 8 feet square " . , e de 18 ou 20 de altura se o terreno o permittir, e dáli se conduzem Galerias até á estrada coberta de 4 pez de largo, e 5 de alto, fazendo deligencias para encontrar as do inimigo para o que se fûra para os lados para baixo, e para cima com huma longa agulha de ferro ou broca de espaço em espaço para ver se as Galerias ou os Mineiros do inimigo estão perto; se se acha que estão por baixo abre-se para baixo hum buraco por onde se lhe deita huma bomba tanto para os expulsar como para os destruir; se se acha que estão por cima pode se fazer huma pequena Mina para os esmagar, mas estando de hum ou outro lado hé necessario averiguar se se avizinhã, ou se se affastam. No primeiro cazo se abre hum buraco, e se lhe mete dentro huma pistolla prompta a disparar-se logo que [Página 103] chegarem ao alcance; e no segundo cazo se deve continuar a Galeria direita a elles até que estando perto delles se faz huma pequena Mina para da mesma sorte arrombar a galeria e destruir os Mineiros. Os Sitiadores hão de conduzir as suas Galerias directamente por baixo das obras, que fazem sobre o terreno para as livrar das Minas do inimigo, e no cazo, que se não encontrem, como facilmente pode succeder se lançã ramaes para huma, e outra parte com pequenas Minas nos extremos, que rebentando não deixarão de destruir muitas das Minas, e [ Galerias] Na cópia manuscrita lê-se " Galeria " no singular, enquanto no original inglês a palavra aparece no plural. do inimigo. Não obstante todo o cuidado, que nisto pode haver não se deve prezumir que o Sitiador possa destruir todas as Minas dos sitiados, e por isso logo que elles dão fogo a algumas [Página 104] das suas se mandã imediatamente trabalhadores a allojar-se nas escavações. E se por alguns meios se puder conduzir agoa às Galerias do sitiado não deixará de as destruir como sucedeu no Sitio de Turin onde muitas Minas ficara sem effeito por este meio. O Sitiado faz as suas Minas geralmente a 4 ou 5 pez de distancia da estrada coberta onde sabem que os Sitiadores se hão-de alojar, e se não atrevem a fazelas mais perto por medo de quebrarem as palliçadas; por esta razão os Sitiadores farão tambem ali as suas para deixar as outras sem effeito, e fazer em parte os Seus alojamentos. Desta cautella se deve uzar sempre que ouver suspeita de algumas Minas dos Sitiados..." [Página 105] Vantagens da Theorica de Mr. Muller. (pag. 233) "Não será improprio fazer menção de algumas vantagens deste methodo em comparação, dos que ate agora se tem uzado entre os Mineiros, huma das principaes hé que sendo necesaria huma Mina de grande abertura n''hum terreno onde se não pode profundar muito, sem encontrar agoa vem se obrigados a fazer duas ou mais Minas huma ao pé da outra, para que os seus effeitos juntos produzã a dezejada abertura ao mesmo tempo, que sempre se pode produzir qualquer abertura seja a linha de menor rezistencia qual for; Ha varios cazos especialmente na [Página 106] Defensa das Praças, em que huma grande escavação produz hum alojamento conveniente aos Sitiadores, o que se deve evitar quanto for possivel por isso todo o ponto he fazer as Minas, de sorte que destruã as obras dos Sitiadores sem lhes dar commodidade para se cobrirem. Isto se executa fazendo a linha de menor rezistencia pequena, e carregando a Mina com mais polvora. Outras vantagens há em fazer a linha de menor rezistencia pequena; os poços, e Galerias se fazem com muito mais brevidade, e se podem collocar varias Minas humas debaixo das outras, por meio das quaes hum mesmo espaço de terreno, se faz saltar por varias vezes; e como os sitiadores se alojã na escavação logo que a Mina rebenta julgando se seguros a segunda Mina lhes fará ainda maior danno que a primeira, e o mesmo se pode dizer da terceira. [Página 107] Como os lugares, em que se fazem as batarias para abrir brecha na face de hum baluarte sempre se conhecem, podem se fazer Minas de baixo delles, não só para as batarias como tambem para fazer cahir as Peças d'Ártelharia no fosso; e isto por varias vezes como em la Fere onde huma mesma bataria opposta a huma luneta, e que continha duas Peças de 24 se fez saltar tres vezes huma depois de outra, e de cada vez cahirã sempre as Peças no fosso." Nota I Prova do Principio II. (pag. 223) "Rezolveo-se o Commandante em chefe da Artilharia em la Fere a fazer várias experiencias ....... em consequecia, do que se fizerão couza de 150 Minas desde [Página 108] o anno de 1725 até o de 1730 de muitas, das quaes fui testemunha de vista Sete Minas destas, cuja linha de menor rezistencia era 10 pez se carregarã com as seguintes quantidades de polvora; a primeira com 120 lb; a segunda com 160 ; a 3.a com 200 ; a 4.a com 240 ; a 5.a com 280 ; a 6.a com 320 , e a 7.a com 360 . Rebentaram estas Minas hua depois da outra, e examinadas as suas escavacoens se acharam os diametros da baze pelo teor seguinte. O da 1.a de pez; o da 2.a de 26 ; o da 3.a de 29 ; o da 4.a de ; o da 5.a de o da 6.a de 36; e da 7.a de 38." Agora para mostrar quanto esta Theoria concorda com as experiencias mencionadas supporei a primeira Mina conhecida, e [Página 109] procuraremos então quaes eram os diametros das outras. Todas as linhas de menor rezistencia destas Minas eram cada huma de 10 pés, e o diametro da baze da primeira, se achou de , e assim AE=11.33 , ou 11.4 EF=10 substituidos estes valores na equação dá ; e CD ou p=2FB-2EF=10.32 ; pelo que substituidos estes valores no rectãgulo (N __ ) Não vemos a razão deste parêntesis; não existe no texto de Muller, que, por outro lado, está totalmente traduzido (página 232). por ser a linha de menor rezistencia sempre a mesma dá , e este hé o sólido pelo qual se hão-de determinar as dimensões das mais Minas. Agora se 120 lb. dão 156.5 quanto darão, 160 lb.? o 4.o termo será o sólido da 2.o; isto hé [ ] Na cópia manuscrita lê-se " 208 " apenas, em desacordo com o texto de Muller. = A , e . Este valor como tão bem o de b=10 substituido na equação (n __ ) O mesmo da nota 44. dá p= [ 12.7 ] Na cópia manuscrita lê-se " 127 " , em desacordo com o texto de Muller. p= 3.2 e EG= 13.2 ; agora estes valores subs- [Página 110] tituidos em dá e EB=13 proximè, e como AB se achou pela medição de 26 pes bem se vê quanto este calculo concorda com a experiencia. Vamos á terceira: Fazendo esta regra como a carga 120 da primeira hé para a carga 200 da terceira, assim hé o sólido 156.5 da primeira para o sólido da terceira teremos A=260.84 ou 2A=521.68 e como b=10 a equação dá p= 14.93 , , e GE=13.73 substituidos estes valores em dá EB=14.32 , e AB=28.64 o que concorda sufficientemente com a experiencia pois nella se achou AB=29 . Se formos continuando por este modo a respeito da 4.a, 5.a, 6.a e 7.a experiencia acharemos os diametros da baze pelo teor seguinte o da 4.a de [Página 111] 31.2 ; o da 5.a de 33.2 , o da 6.a de 35.3 e o da 7.a de 37.4 o que sufficientemente concorda com as experiencias, pois a maior differença não excede a 6 polegadas, e ainda isso mesmo pode proceder de varias cauzas, como de não ter sido a linha de menor rezistencia de 10 pez bem exactas; por que poucas polegadas de mais ou de menos pode cauzar alteração ou da dezigualdade do terreno, que podia ser mais ou menos denso com muitos outros accidentes que podem ocorrer na pratica, e a não deixam concordar exactamente com a Theorica." Nota II Esta demonstração tirada do methodo das series nenhuma força pode ter para as pessoas, que dellas não tem noticia. Em beneficio pois destas pessoas darei aqui este methodo copiado do excelente Tratado do [Página 112] Cavalheiro Newton intitulado Analisis per Quantitatem series Fluxiones ac Differentias. Diz elle assim n'úma Carta que escreve a M. Oldembourg A carta está incluída no livro referido, cujo título completo é " Analysis per quantitatem series fluxiones ac differentias, cum enumeratio linearum tertie ordinis " , publicado em Londres em 1711. "Proponha-se a Equação da Area da Hyperbole e multiplicados os seus membros por si mesmo sahirá [Página 113] tiro agora de z e fica ajunto-lhe e sahé tiro-lhe e resta ajunto-lhe e sahe quam proxime ou Por meio desta casta de calculo ........... se tirão as raizes da maior parte das equaçoens [Página 114] Na Regressão porem das Areas para as linhas rectas poderão servir estes Theoremas THEOREMA I. Seja . E então será [ ] Na cópia manuscrita o termo está incluido no último termo do numerador da fracção; a correcção foi feita de acordo com o texto original de Newton. Por exemplo. Proponha-se huma Equação da Area da Hyperbole [ ] Na cópia manuscrita lê-se apenas " " ; correcção feita de acordo com o texto original. E substituindo na 1 Regra 1 em vez de a , em vez de b , em vez de c , em vez de d , e em vez de e sahirá [ ] Na cópia manuscrita lê-se " " ; correcção feita como a precedente. THEOREMA II. Seja e será [Página 115] + [ ] Na cópia manuscrita lê-se " " apenas; correcção feita como as anteriores. " Acaba aqui a tradução do referido texto de Newton. Os valores de y dados nestes dois Theoremas são achados pelo modo, que se achou o valor de x no 1.o Exemplo. Pois divida-se por a , e fica depois obre-se como no dito Exemplo, e sahirá o mesmo valor. Será necessário advertir aos principiantes que este methodo só tem lugar, quando estas series são convergentes, isto hé taes que os seus termos vão diminuindo de sorte que já o 5.o, 6.o, 7.o, 8.o ou 9.o termo seja tão pequeno que se possa deixar de fora no Calculo. Vg no Exemplo a cima se suppoem que já o termo, em que x se acha [Página 116] elevado á 6.a potencia he tão pequeno que não merece contar-se, e por conseguinte em todas as operaçoens se deixa de fora como tambem todos os mais, em que x sobe á mais alta potencia. Por exemplo eis aqui como se quadra z e o seu valor neste cazo. [ + ] \notamk Na cópia manuscrita não existe este sinal + . e todos os mais termos, que conterião mais altas potencias por minimos se desprezam. O coefficiente do segundo termo hé sempre o que determina como se deve obrar na operação seguinte Vg no Exemplo a cima como o coefficiente do segundo termo he tiro [Página 117] de cada parte, e como no resto o Coefficiente do segundo termo hé tiro (isto hé a junto ) ecomo no resto o coefficiente do segundo termo he tiro &c sic Caetera. [Página 118] Appendix Como nesta terceira parte se não acham algumas couzas, e se explicão outras talvez muito de passagem, parecendo-me com tudo necessarias as exporei aqui por meio dessas duas Estampas tiradas de M. le Blond, as quaes com as suas explicaçoens bastam para dar hua sufficiente ideia dellas. (M. le Blond Artill. Raisonn. Art. IV.) Trata-se do livro de Guillaume Le Blond " L'Ártillerie raisonnée " , publicado em Paris em 1761. Explicação da 3.a Estampa É óbvio que a descrição não diz respeito à Estampa 3 da cópia manuscrita, mas a uma estampa que numerámos como 4; as figuras desta estampa são tiradas do referido livro de Le Blond. Contudo as figuras não estão numeradas e parece que há figuras omissas. A Figura 1.a mostra a Broca do Mineiro A 2.a huma sonda A 3.a huma porta das, com que se fexam os cotovellos das Galerias: As letras O denotam as vigas horizontaes, e N as verticaes. [Página 119] A 4.a C hé a Galeria BB he hum canudo, que chega desde a boca do poço até a camara D ; A he huma vella agitada pelo vento para fazer circular o Ar dentro da Galeria. NB . Este meio parece impossivel que produza o effeito dezejado pois não sei que o Ar movido pela vella ao pe da boca do canudo possa ter grande influencia no Ar, que se encerra nelle. A 5.a T he o poço, LKKL , hé a Galeria, E outro poço mais pequeno, G huma communicação entre os dois poços, H hum canudo que vai ate o fim da Galeria. No poço, E se poem hum ou mais brazeiros cujo fogo se deve continuamente estar a soprando: O fogo dos brazeiros rarefaz o Ar [Página 120] no poço E pelo que todo o Ar, que se contem no canudo como mais pezado correrá para o poço E o que fará correr todo o Ar exterior pela Galeria adiante para entrar no canudo a occupar o lugar cedido pelo Ar que correu para E . N. B. Parece impossivel que este expediente deixe de ter effeito, tem porem o inconveniente de não se poder sempre por em execução á vista do inimigo como dis S.t Remy. O autor aqui referido é Surirey de S.t Rémy, que publicou uma obra intitulada " Mémoires d'Ártillerie " , com várias edições, tendo a primeira edição sido publicada em 1697. A 6.a Mostra a maneira de especar as terras sobre, e ao pé da Camara. A 7.a e 8.a N, fornilho ou Camara cheia de polvora. O Espeques pela parte de cima da Camara. As descrições desde " O " até " d " parecem corresponder à estampa que foi tirada do referido livro de Le_Blond. É curioso que esta estampa é simétrica em relação à original. [Página 121] P Enxelharia desde o fornilho até o primeiro cotovello. Q Vigas, Espeques, Estroncas, que especam o primeiro Cotovelo. R Espaço, que hade ser de enchelaria como está reprezentado na planta, e que se õmite no perfil para deixar ver a especaria do cotovello Q S Especaria do Segundo cotovello. T Enxelharia entre as especarias do Segundo, e terceiro cotovello. V Especaria do terceiro cotovello. X Enxelharia entre o terceiro, e quarto cotovello, que não está reprezentada no perfil. Y Especaria do terceiro cotovello. Z Enxelharia desde o quarto, e ultimo cotovello até a porta da Galeria. a Fogo que pega na Salcicha. b Poço, que se faz logo ao principio, em cujo [Página 122] fundo começa a Galeria c Cestos que servem para tirar a terra da Galeria, e para se ministrar ao Mineiro o que necessita. d Sarilho para issar os cestos. Explicação da 4.a Estampa A estampa aqui referida seria provavelmente a 2.a estampa tirada do livro de Le_Blond, já que o autor fala em duas dessas estampas. Existe porém uma 5.a estampa na cópia manuscrita que numerámos com 5, mas que não parece corresponder a esta descrição. A figura 1.a reprezenta huma Mina feita no contraforte de huã muralha para abrir brecha. A sua linha de menor rezistencia não hé perpendicular ao plano do horizonte mas sim à superficie exterior H J da muralha. Bem se vê que feita pela polvora a escavação HEJ toda a parte superior da muralha hade cahir no fosso, e fica feita a brecha. Se porem a camara se collocase em D então todo o effeito seria para cima, e recebendo a muralha tal vez muito pouco aballo não se consiguiria [Página 123] o effeito dezejado. A 2.a, reprezenta dois andares de Minas, isto he duas Galerias huma sobre outra, e cada hua com seus tres fornilhos. N. B. Esta invenção de Minas de varios andares (des mines a plusienrs Etages) hé de M. de Valiere, são utilissimas nas esplanadas, e consiste a sua singularidade em fazer saltar repetidas vezes o mesmo terreno, por cujo meio se atrazam infinitamente as obras do inimigo, e se lhe mata muita gente. A 3.a e 4.a reprezentam tres andares de Minas. A 5.a denota 11 EEEE a planta do primeiro andar EE da figura 3. H22FF ã do segudo FF da mesma figura, 333 G , a do terceiro G da mesma. A 6.a mostra o perfil de huma esplanada contra minada segundo o methodo de M. de [Página 124] Valiere com tres andares de Minas, a Galeria LN , a escada de communicação de fornilho L. para o fornilho M. &c. As linhas de menor rezistencia são perpendiculares ao plano da explanada L , F reprezenta hum plano que passa por todos os fornilhos que por isso se chama plano dos fossos, e faz com o da esplanada hum angulo de 45 gráos. A 7.a reprezenta o plano LF da 6.a com os fornilhos, que nelle se acham. Estas duas figuras servem para mostrar como se hão de determinar os intervallos dos Fornilhos, e dos andares, em que se acham o que se faz por esta construcção. A distancia FG se toma de 4 ou 5 pés a linha de menor rezistencia NO igual OF (fig. 6) igual ao intervallo MR (fig. 7) dos fornilhos do primeiro andar igual ao intervallo ME ou ER igual à metade do intervallo EV dos forni- [Página 125] lhos do segundo andar, que hé arbitraria. A distancia MN (fig. 6) he igual a JE (fig. 7) O intervalllo EB em BV (fig. 7) he igual a linha de menor rezistencia PM (fig. 6). O intervallo BS hé quadroplo de ON (fig. 6) ou MR (fig 7). E por este modo se regularão as distancias de mais andares se for precizo, e ex aqui em poucas palavras o methodo de M. de Valiere. Na sua Taboa se buscarão as linhas de menor rezistencia destas Minas (as quaes, por meio das dimençoens dadas se acham facilmente ou por calculo, ou com o petipé) e se lhes darão as cargas, que a essas linhas correspondem. Em terras brandas ou Soltas se fará o intervalo MR (fig. 7) maior que a linha de menor rezistencia couza de da mesma, ou que o Mineiro prudente julgar para que as Minas se não destruam huas ás outras e todas as mais distancias, e intervallos se regularão pelo intervallo MR da mesma sorte, que explicamos. [Página 126] A figura 8.a mostra as aberturas de cada huma das Minas. NB com a Theorica de M Muller se pode aperfeiçoar summamente este methodo como facilmente acharão os curiozos por pouco q queirão meditar sobre esta materia. Não devo acabar sem pedir perdão aos Mineiros de consumada experiencia por pertender expor a pratica das Minas, sem ainda ter visto jogar se não duas, a cuja fabrica não asssisti como tambem de alguns termos, que se acharem menos proprios, por esta razão em toda a parte pratica deste papel não fis mais do q. copiar fielmente os Autores, que cito, e o meu intento he sòmente ser util aos Officiaes moços meus Camaradas. F I M O número desta estampa não se encontra na cópia manuscrita. Mesma observação da nota anterior.